La Matemática desde 1700 hasta la actualidad

República Bolivariana de Venezuela

Universidad Pedagógica Experimental Libertador

Instituto de Mejoramiento Profesional del Magisterio

Extensión Nueva Esparta

Matemática – IV Semestre

NATURALEZA DEL CONOCIMIENTO MATEMATICO

Asignatura: Educación Matemática                                                                Participante:

Prof.: Farammen García                                                                            

Brito M., Gustavo J.  C.I.: 15.203.324

Carreño G., Inora L.  C.I.: 17.897.787

Brito M., Eguar J. C.I.: 18.399.347

La Asunción, Mayo de 2016.

NATURALEZA DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO.

Precursores desde 1700 hasta la Actualidad.

Desde los antiguos griegos hasta hoy en día han surgido diferentes personajes que son icono en un área tan amplia como lo es la matemática, entre ellos De Lucas (1996) menciona al siguiente:

Euler, Leonhard (Basilea, Suiza, 1707-San Petersburgo, 1783)

Matemático suizo. Las facultades que desde temprana edad demostró para las matemáticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institución en 1723, cuatro años más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la cátedra de matemáticas. A causa de su extrema dedicación al trabajo, dos años más tarde perdió la visión del ojo derecho, hecho que no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos.

Hasta 1741, año en que por invitación de Federico el Grande se trasladó a la Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió en una herramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luego con otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas (introduciendo de paso la notación "e" para definir la base de los logaritmos naturales).

En 1748 publicó la obra "Introductio in analysim infinitorum", en la que expuso el concepto de función en el marco del análisis matemático, campo en el que así mismo contribuyó de forma decisiva con resultados como el teorema sobre las funciones homogéneas y la teoría de la convergencia. En el ámbito de la geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada identidad de Euler; a él se debe la moderna tendencia a representar cuestiones matemáticas y físicas en términos aritméticos. En el terreno del álgebra obtuvo así mismo resultados destacados, como el de la reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la determinación de la constante que lleva su nombre. A lo largo de sus innumerables obras, tratados y publicaciones, introdujo gran número de nuevas técnicas y contribuyó sustancialmente a la moderna notación matemática de conceptos como función, suma de los divisores de un número y expresión del número imaginario raíz de menos uno. También se ocupó de la teoría de números, campo en el cual su mayor aportación fue la "ley de la reciprocidad cuadrática", enunciada en 1783.

Por tanto, los aportes significativos de este matemático fueron el desarrollo de la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas en las cuales fue insertando la notación “e” para definir la base de los logaritmos naturales, al igual que, tuvo resultados en álgebra tales como la reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la determinación de la constante que lleva su nombre.

Por su parte, la página web scribd.com en su artículo Grandes Genios Matemáticos menciona al siguiente precursor de la matemática,

Coulomb, Charles de (1736-1806)

Físico francés y pionero en la teoría eléctrica; nació en Angulema y trabajó como ingeniero militar al servicio de Francia en las Indias Occidentales (actuales Antillas), pero se retiró a Blois (Francia), en la época de la Revolución Francesa para continuar con sus investigaciones en magnetismo, rozamiento y electricidad. En 1777 inventó la balanza de torsión para medir la fuerza de atracción magnética y eléctrica. Con este invento, Coulomb pudo establecer el principio, conocido ahora como ley de Coulomb, que rige la interacción entre las cargas eléctricas. En 1779 Coulomb publicó el tratado Teoría de las máquinas simples donde se encuentra un análisis del rozamiento en la maquinaria. Después de la Revolución, Coulomb salió de su retiro y ayudó al nuevo gobierno en la planificación de un sistema métrico decimal de pesos y medidas. La unidad de medida de carga eléctrica, el culombio, recibió este nombre en su honor.

Sus aportes fueron la invención de la balanza de torsión para medir la fuerza de atracción magnética y eléctrica con el que estableció la ley de Coulomb, que rige la interacción entre las cargas eléctricas. Aunque no se dedicó a la matemática totalmente la formulación de sus leyes ayuda e involucra el tratamiento de ecuaciones matemáticas.

Por otro lado, menciona la De Lucas (1996) los siguientes personajes:

Lagrange, Joseph-Louis de (Turín, 1736-París, 1813)

Matemático francés de origen italiano. Estudió en su ciudad natal y hasta los diecisiete años no mostró ninguna aptitud especial para las matemáticas. Sin embargo, la lectura de una obra del astrónomo inglés Edmund Halley despertó su interés y, tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado. Nombrado profesor de la Escuela de Artillería, en 1758 fundó una sociedad, con la ayuda de sus alumnos, que fue incorporada a la Academia de Turín.

En su obra "Miscellanea taurinensia", escrita por aquellos años, obtuvo, entre otros resultados, una ecuación diferencial general del movimiento y su adaptación para el caso particular del movimiento rectilíneo y la solución a muchos problemas de dinámica mediante el cálculo de variantes. Escribió así mismo numerosos artículos sobre cálculo integral y las ecuaciones diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos a fuerzas de atracción mutuas.

A principios de 1760 era ya uno de los matemáticos más respetados de Europa, a pesar del flagelo de una salud extremadamente débil. Su siguiente trabajo sobre el equilibrio lunar, donde razonaba la causa de que la Luna siempre mostrara la misma cara, le supuso la concesión, en 1764, de un premio por la Academia de Ciencias de París. Hasta que se trasladó a la capital francesa en 1787, escribió gran variedad de tratados sobre astronomía, resolución de ecuaciones, cálculo de determinantes de segundo y tercer orden, ecuaciones diferenciales y mecánica analítica.

En 1795 se le concedió una cátedra en la recién fundada École Normale, que ocupó tan solo durante cuatro meses. Dos años más tarde, tras la creación de la École Polytechnique, Lagrange fue nombrado profesor, y quienes asistieron a sus clases las describieron como «perfectas en forma y contenido». Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base de sus obras "Teoría de las funciones analíticas" y "Resolución de ecuaciones numéricas" (1798). En 1810 inició una revisión de su Teoría, pero sólo pudo concluir dos terceras partes antes de su muerte.

En base a lo anterior, se puede decir que los aportes fueron sus numerosos artículos sobre cálculo integral y las ecuaciones diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos a fuerzas de atracción mutuas, hallar la solución para el movimiento en línea recta, sus teoremas sobre números y sus grandes aportes a la astronomía.

Monge, Gaspard (Beaune, Francia, 1746-París, 1818)

Matemático francés. Hijo de un comerciante, sus grandes dotes para el dibujo (siendo muy joven realizó un perfecto mapa de su ciudad natal) le abrieron las puertas de la Escuela Militar de Mezières. Allí empezó a desarrollar métodos de representación de objetos tridimensionales mediante su proyección sobre dos planos, métodos que fueron clasificados como de alto secreto por el ejército y que constituyen los inicios de la geometría descriptiva. Afiliado a la causa revolucionaria (fue miembro del club de los Jacobinos), tras el triunfo de la misma, Monge desempeñó numerosos cargos gubernamentales; como ministro de Marina, fue el encargado de firmar la condena oficial a muerte de Luis XVI. Convencido de la importancia de la educación, intervino en la creación de instituciones académicas como la École Normale Supérieure o la Polytechnique.

Amigo personal de Napoleón Bonaparte, acompañó al entonces general en su campaña de Egipto (1798-1801). A su regreso continuó dando clases en la Polytechnique; su labor pedagógica resultó decisiva en la formación de una espléndida generación de geómetras franceses, entre los que cabe citar a Poncelet, Dupin, Meusnier y Rodrigues. La contribución de Monge a la geometría fue inmensa, tanto en diversidad como en profundidad; amén de la rama descriptiva, se le considera a menudo el fundador de la geometría diferencial.

En su obra "Aplicaciones del análisis a la geometría", introdujo importantes conceptos. Así mismo fue el primero en emplear de forma sistemática las ecuaciones en derivadas parciales para el estudio de las superficies. En su doble faceta de científico y pedagogo, se le considera el principal responsable de la gran expansión experimentada por la geometría en el siglo XIX.

Por lo tanto, sus aportes fueron sobretodo en la geometría, tal como la representación de objetos tridimensionales por medio de proyecciones en un plano de dos dimensiones, esto por sus grandes habilidades para el dibujo, el estudio de superficies por medio de la aplicación de ecuaciones y la expansión por medio de esto de la geometría.

Laplace, Pierre-Simon, marqués de (Beaumont-en-Auge, Francia, 1749-París, 1827)

Matemático francés. Hijo de un granjero, inició sus estudios primarios en la escuela local, pero gracias a la intervención de Alembert, profundamente impresionado por un escrito del joven sobre los principios de la mecánica, pudo trasladarse a la capital, donde consiguió una plaza en la École Militaire. Entre 1771 y 1789 desarrolló la mayor parte de su trabajo sobre astronomía, particularmente su estudio sobre las desigualdades planetarias, seguido por algunos escritos sobre cálculo integral y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Destaca entre su producción del período 1784-1787 la determinación de la atracción de un esferoide sobre una partícula situada en su exterior, para cuya determinación introduciría el análisis de armónicos o coeficientes de Laplace y el concepto de potencial. En 1796 publicó su "Exposición del sistema del mundo", en el que ofreció una versión divulgativa de la mecánica newtoniana y una exposición del sistema solar. Sus resultados analíticos sobre la mecánica estelar se publicaron en los cinco volúmenes del "Tratado de mecánica celeste" (1799-1825). En los dos primeros volúmenes describió métodos para el cálculo del movimiento de los planetas y sus satélites, y determinó sus trayectorias. El tercero contiene la aplicación de estos métodos y muchas tablas astronómicas.

En 1814, Laplace publicó un ensayo sobre probabilidades orientado al lector profano, que le serviría de base para la segunda introducción de su "Teoría analítica de las probabilidades"  (tratado publicado en 1812), donde incluyó una exposición del método de los mínimos cuadrados, base de toda la teoría de los errores.

Aunque la mayoría de los aportes de Laplace fueron en la rama de la astronomía, en la matemática obtuvo resultados como el método de los mínimos cuadrados aplicable en el análisis de las probabilidades y fue la base de la teoría de los errores.

Ruffini, Paolo (Valentano, 1765- Módena, 1822)

Físico y matemático italiano. Fue profesor de matemáticas y, en 1814, rector de la Universidad de Módena. Ruffini fue el primero que realizó un intento, con éxito parcial (probablemente en 1803 o 1805), de demostrar la imposibilidad de resolver mediante procesos elementales de álgebra las ecuaciones generales de un grado superior a cuatro. Esta formulación, denominada teorema Abel-Ruffini, fue demostrada definitivamente por el matemático noruego Niels Henrik Abel.

El aporte más resaltante en la matemática fue la creación de la regla de Ruffini utilizado para la búsqueda de raíces de un polinomio o de aquellos valores que puedan anular dicho polinomio. Se aplica donde los grados sean mayores o iguales que cuatro (4).

Gauss, Karl Friedrich (Brunswick, actual Alemania, 1777-Gotinga, id., 1855)

Matemático y físico alemán conocido por sus estudios del electromagnetismo. Desde joven comenzó el estudio de las matemáticas. Solucionó el problema de la construcción de un heptágono regular con regla y compás: probó que era imposible y aportó métodos para construir figuras de 17, 257 y 65.537 lados o un producto de dos o más de estos números. Estudió en la Universidad de Gotinga donde presentó una tesis doctoral que prueba de que cada ecuación algebraica tiene al menos una raíz o solución. Este teorema, que ha sido un desafío para los matemáticos durante siglos, se sigue denominando teorema fundamental de álgebra. Después se centró en la astronomía. Calculó su posición exacta de Ceres (un pequeño asteroide, confundido con un planeta, descubierto en 1801). También planeó un nuevo método para calcular las órbitas de los cuerpos celestes. En la teoría numérica fundamentó el teorema de los números primos. Desarrolló una geometría no euclídia, pero no publicó los descubrimientos. En la teoría de la probabilidad, desarrolló el método de los mínimos cuadrados y las leyes fundamentales de la distribución de la probabilidad y estadística. El diagrama normal de la probabilidad se sigue llamando curva de Gauss. Realizó estudios geodésicos y aplicó las matemáticas a la geodesia. Junto con el físico alemán Weber, Gauss estudió el magnetismo. Sus trabajos más importantes son los de la aplicación de las matemáticas al magnetismo y a la electricidad. También llevó a cabo investigaciones en el campo de la óptica, especialmente en los sistemas de lentes.

Los avances que presentó Gauss en su momento fue la comprobación de la existencia de al menos una raíz o solución a las ecuaciones algebraicas; asimismo,  en el campo de las probabilidades desarrollo métodos relacionados con los mínimos cuadrados y las leyes fundamentales de la distribución de la probabilidad y estadística.

Cauchy, Augustin-Louis, barón de (París, 1789-Sceaux, Francia, 1857)

Matemático francés. Era el mayor de los seis hijos de un abogado católico y realista, que hubo de retirarse a Arcueil cuando estalló la Revolución. Allí sobrevivieron de forma precaria, por lo que Cauchy creció desnutrido y débil. Fue educado en casa por su padre y no ingresó en la escuela hasta los trece años, aunque pronto empezó a ganar premios académicos.

A los dieciséis entró en la École Polytechnique parisina y a los dieciocho asistía a una escuela de ingeniería civil, donde se graduó tres años después. Su primer trabajo fue como ingeniero militar para Napoleón, ayudando a construir las defensas en Cherburgo. A los veinticuatro años volvió a París y dos más tarde demostró una conjetura de Fermat que había superado a Euler y Gauss. Con veintisiete años ya era uno de los matemáticos de mayor prestigio y empezó a trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las 300 páginas de esa investigación once años después. En esta época publicó sus trabajos sobre límites, continuidad y sobre la convergencia de las series infinitas.

En 1830 se exilió en Turín, donde trabajó como profesor de física matemática hasta que regresó a París (1838). Pasó el resto de su vida enseñando en La Sorbona. Publicó un total de 789 trabajos, entre los que se encuentran el concepto de límite, los criterios de convergencia las fórmulas y los teoremas de integración y las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann. Su extensa obra introdujo y consolidó el concepto fundamental de rigor matemático.

Los aportes de Cauchy están altamente relacionados con los límites, la continuidad y la convergencia de series numéricas infinitas, para los cuales estableció una secuencia de fórmulas y teoremas que ayudan a la resolución de problemas por medio de métodos de integración.

Boole, George (Lincoln, Reino Unido, 1815-Ballintemple, actual Irlanda, 1864)

Matemático británico. Procedía de una familia venida a menos y tuvo que desestimar la idea de convertirse en monje al verse obligado a mantener a sus padres. A los dieciséis años enseñaba matemática en un colegio privado y más tarde fundó uno propio. A los veinticuatro años, tras la publicación de su primer escrito, pudo ingresar en Cambridge, pero desestimó la oferta, de nuevo a causa de sus deberes respecto a su familia.

En 1849 le nombraron profesor de matemáticas del Queens College, en Cork, donde permaneció el resto de su vida. El gran descubrimiento de Boole fue aplicar una serie de símbolos a operaciones lógicas y hacer que estos símbolos y operaciones “por elección cuidadosa” tuvieran la misma estructura lógica que el álgebra convencional. En el álgebra de Boole, los símbolos podían manipularse según reglas fijas que producirían resultados lógicos.

En 1854 publicó "Investigación sobre las leyes del pensamiento", libro que trataba por completo de la lógica simbólica y su álgebra. La influencia de esta lógica matemática sobre las matemáticas modernas tendría una evolución lenta: si en un primer momento no parecía más que un intrincado juego de palabras, más adelante se vio que era de lo más útil, y hasta completamente indispensable para conseguir la matemática lógica. Boole se casó a la edad de cuarenta años y tuvo cinco hijas, a las que no llegó a ver adolescentes.

El mayor aporte de este precursor de la matemática fue la creación del Álgebra de Boole, en la cual se utilizaban una serie de símbolos donde se podían operar lógicamente, aplicando reglas fijas que proporcionaban resultados comprensibles y lógicos, a problemas matemáticos.

Cantor, Georg Ferdinand (San Petersburgo, 1845-Halle, Alemania, 1918)

Matemático alemán de origen ruso. El joven Cantor permaneció en Rusia junto a su familia durante once años, hasta que la delicada salud de su padre les obligó a trasladarse a Alemania. En 1862 ingresó en la Universidad de Zurich, pero tras la muerte de su padre, un año después, se trasladó a la Universidad de Berlín, donde estudió matemáticas, física y filosofía. Se doctoró en 1867 y empezó a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle.

En 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de conjuntos. Entre 1874 y 1897, demostró que el conjunto de los números enteros tenía el mismo número de elementos que el conjunto de los números pares, y que el número de puntos en un segmento es igual al número de puntos de una línea infinita, de un plano y de cualquier espacio. Es decir, que todos los conjuntos infinitos tienen «el mismo tamaño». Consideró estos conjuntos como entidades completas con un número de elementos infinitos completos. Llamó a estos números infinitos completos «números transfinitos» y articuló una aritmética transfinita completa. Por este trabajo fue ascendido a profesor en 1879.

Sin embargo, el concepto de infinito en matemáticas había sido tabú hasta entonces, y por ello se granjeó algunos enemigos, especialmente Leopold Kronecker, que hizo lo imposible por arruinar su carrera. Estancado en una institución docente de tercera clase, privado del reconocimiento por su trabajo y constantemente atacado por Kronecker, sufrió su primera crisis nerviosa en 1884. Sus teorías sólo fueron reconocidas a principios del siglo XX, y en 1904 fue galardonado con una medalla de la Sociedad Real de Londres y admitido tanto en la Sociedad Matemática de Londres como en la Sociedad de Ciencias de Gotinga. En la actualidad se le considera como el padre de la teoría de conjuntos, punto de partida de excepcional importancia en el desarrollo de la matemática moderna. Murió en una institución mental.

Sus trabajos con la teoría de conjuntos fueron los que hicieron resaltar a este personaje, en ellos, demostró que todos los conjuntos de elementos infinitos tienen el mismo tamaño tal como la cantidad de puntos de una línea segmentada, un plano, entre otros.

Einstein, Albert (1879-1955)

Físico alemán nacionalizado estadounidense. Premio Nobel, famoso por ser el autor de las teorías general y restringida de la relatividad y por sus hipótesis sobre la naturaleza corpuscular de la luz. Es probablemente el científico más conocido del siglo XX. Desde temprano manifestó una fuerte capacidad de comprensión matemática, rama que estudió y de la que profesor. En 1905 se doctoró por la Universidad de Zurich, con una tesis sobre las dimensiones de las moléculas. Publicó tres artículos teóricos de gran valor para el desarrollo de la física del siglo XX: 1º. El movimiento browniano, sobre el movimiento aleatorio de las partículas en un fluido.2º. El efecto fotoeléctrico, embrión de la nueva teoría sobre la naturaleza de la luz, según la cual bajo ciertas circunstancias la luz se comporta como una partícula. (…) 3º. Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento, que formula lo que después se conocerá como la teoría especial o restringida de la relatividad. (…) A partir de 1919, Einstein recibió el reconocimiento internacional y acumuló honores y premios de distintas sociedades científicas, como el Nobel de Física en1922. Durante la I Guerra Mundial se comprometió con el pacifismo y el sionismo. En 1933 emigró a los E.E.U.U., donde primero pidió apoyo para un programa de investigación sobre las reacciones en cadena, que de hecho aceleró el descubrimiento de la bomba atómica, para después pedir su no uso, y convertirse un activo intelectual pacifista

Aunque Einstein no incursiono de lleno en la rama de la matemática, sus grandes aportes están relacionados con la física, puesto que creó la teoría de la relatividad relacionada con la mecánica y el electromagnetismo.

Von Neumann, John (Budapest, 1903 - Washington, 1957)

Es considerado uno de los matemáticos más importantes de la historia moderna, un niño prodigio matemático que pasó a hacer grandes contribuciones en varios campos. Además de su trabajo físico de la teoría cuántica y su papel en el Proyecto Manhattan y el desarrollo de la física nuclear y la bomba de hidrógeno, es especialmente recordado como un pionero de la teoría de juegos, y en particular de su modelo de diseño para una cámara digital que utiliza una unidad de procesamiento y una estructura de almacenamiento por separado y así mantener ambas instrucciones y datos, una arquitectura general que los ordenadores más electrónicos siguen aún hoy en día.

Considerado el padre de la arquitectura del computador, realizó grandes aportes relacionados con la teoría de juegos y la mecánica cuántica, sin embargo, es reconocido  por la creación de la primera computadora que utilizaba programas flexibles, estableció las instrucciones para las operaciones con datos y la arquitectura general de los ordenadores electrónicos de hoy en día.

Cohen, Paul Joseph (Nueva Jersey, 1934 – Stanford, 2007)

Es un ejemplo de una segunda generación de inmigrantes judíos que siguieron el sueño americano a la fama y el éxito. Su obra sacudió el mundo matemático en la década de 1960, cuando demostró que las  hipótesis de Cantor sobre los posibles tamaños de conjuntos infinitos (uno de los originales 23 problemas de Hilbert) podría ser ciertas o no, y que había efectivamente dos mundos matemáticos completamente separados pero válidos, uno en el que la hipótesis del continuidad era verdad y uno en el que no era.